Der rechnende Teppich

Dieser Teppich ist ein wahrer Zauberteppich. Mit ihm kann man rechnen – und zwar mit den Füßen.

Auf dem Teppich sehen wir viele Zahlen, deren Abstände von der kleinsten zur größten immer kleiner werden. Läuft man auf dem Teppich vor oder zurück, so werden mit jedem Schritt Zahlen miteinander multipliziert oder dividiert. Wie genau das funktioniert? Am besten probieren wir es aus. Wir beginnen auf der Eins, der kleinsten Zahl auf dem Teppich, und machen einen großen Schritt zur Zahl 2. Wir merken uns die Schrittlänge. Als nächstes gehen wir einen weiteren Schritt mit gleicher Länge, landen aber nicht auf der 3, wie es zu erwarten gewesen wäre, sondern auf der 4. Noch ein solcher Schritt, schon ist es die 8! Es folgen die 16, 32, 64 usw. Das Wichtigste haben wir damit erkannt: Mit jedem Schritt haben wir mit dem Faktor 2 multipliziert.

Der „mal 2“-Schritt funktioniert auch, wenn wir uns an anderer Stelle positionieren. Nehmen wir zum Beispiel die 100 und laufen einen „2er“-Schritt vorwärts. Wir landen bei 200. Und was passiert, wenn wir einen 2er-Schritt rückwärtslaufen? Das ist ganz einfach: es wird durch 2 dividiert.

Spannend ist nun die Frage, ob das Rechnen auch mit weiteren Zahlen möglich ist. Können wir zum Beispiel mit 4 oder 8 multiplizieren? Die Antwort lautet „Ja“. Für „mal 4“ müssen wir schließlich nur zwei der „mal 2“-Schritte vorwärtslaufen. Und für die 8? Da sind es Drei, denn 8 = 2*2*2.

Der Teppich kann aber noch mehr: Der Schritt von der 1 zur 3 entspricht der Multiplikation mit 3. Der Abstand von der 1 zur 5 steht für „mal 5“ usw. Wenn wir das wissen, dann können wir auch mit vielen weiteren Zahlen multiplizieren. Versuchen wir zum Beispiel 4*6 = 4*(2*3). Wir stellen uns auf die 4 und machen hintereinander einen „2er“-Schritt und einen „3er“-Schritt. Schon landen wir auf der 24. Auf ähnliche Weise könnten auch Quadrieren, Wurzelziehen oder mit Dezimalzahlen rechnen.

Ein echter Wunderteppich, mit dem man im Darübergehen rechnen kann.

Für echte Mathe-Fans:

Was steckt dahinter?

Die Idee des Rechenteppichs geht zurück auf die „logarithmische Skala“, die der englische Mathematiker Edmund Gunter (1581-1626) erfunden hat. Das Tolle an der der „logarithmische Skala“, ist, dass es mit ihr möglich ist, eine schwierige Multiplikationsaufgabe auf eine einfache Addition zu reduzieren.

Wie der Name schon sagt, beruht die Logarithmische Skala“ auf dem Logarithmus. Dieser hilft uns Lösungen von Gleichung wie z.B. 2^x=8 zu beschreiben. Man kann dann einfach sagen, die Lösung der Gleichung 2^x=8 ist "der Logarithmus von 8 zur Basis 2". In diesem Fall ist x = log₂(8) = 3, denn 2³=8. Ganz allgemein ist die Logarithmusfunktion so etwas wie die Umkehrung der Exponentialfunktion.

Der Teppich zeigt uns, dass die logarithmische Skala ganz anders aufgebaut ist, als unsere „gewohnte“ Skala: Während bei „unserer“ Skala gleiche Abstände immer einer Addition entsprechen

entsprechen gleiche Abstände bei der logarithmischen Skala immer einer Multiplikation.

Wenn man die Skala des Teppichs selbst zeichnen möchte, muss man die Zahlen so anordnen, dass die Strecke von 1 bis zu einer Zahl a immer eine Multiplikation mit a bewirkt. Im Falle des Rechenteppichs haben wir die Multiplikation mit 2 als Grundlage genommen.

Übrigens: Eine Idee davon, warum man jetzt nur noch + und – rechnen muss, bekommt man mit der „Rechenregel“ 2^x ∙ 2^y= 2^{x + y}. Aus dieser folgt nämlich log₂(x ∙ y) = log₂(x) + log₂(y). Das heißt, eine Multiplikationsaufgabe (links) wird in eine Additionsaufgabe (rechts) überführt.