Was sind duale Körper?

Jeder platonische Körper ist ein Objekt eigenen Rechts, das für sich selbst steht. Durch Vernetzung untereinander gewinnen diese Körper aber noch eine weitere Dimension an Bedeutung. "Tetraeder im Würfel" ist eine solche Beziehung, allerdings eine sehr spezielle. Aber jeder platonische Körper hat einen "dualen" platonischen Körper. Wie dieser entsteht, machen wir uns am Beispiel des Würfels klar.

Zunächst denken wir uns auf jeder Seite des Würfels den Mittelpunkt dieser Seite markiert. Wenn der Würfel "normal" vor uns steht, gibt es also rechts und links, oben und unten, sowie vorne und hinten je einen neuen Punkt. Diese sechs Punkte sind die Ecken des neuen Körpers, der "dual" zum Würfel ist.

Die Gestalt des neuen Körpers erkennen wir an seinen Kanten: Zwei neue Ecken werden durch eine Kante verbunden, wenn die entsprechenden Seitenflächen des Würfels eine Kante gemeinsam haben. So wird zum Beispel der Mittelpunkt der oberen Würfelfläche mit den Mittelpunkten der Seiten rechts und links sowie vorne und hinten verbunden.

Schließlich müssen wir uns noch fragen, welche Flächen durch die neuen Kanten gebildet werden. Dazu schauen wir uns eine Ecke des Würfels an, zum Beispiel die Ecke rechts oben vorne, genauer gesagt die Seitenflächen des Würfels, die diese Ecke enthalten, das heißt die rechte Seite, die Oberseite und die Vorderseite des Würfels. Je zwi dieser drei Setenflächen haben eine Kante gemeinsam, daher sind die Mittelpunkte dieser Seiten paarweise durch eine Kante verbunden. Das bedeutet, dass der neue Körper an dieser Stelle eine dreieckige Seitenfläche hat. Da der Würfel acht Ecken hat, wird der neue "duale" Körper durch acht Dreicksflächen begrenzt. Dieser Körper heißt Oktaeder; das bedeutet Achtflächner.

Übrigens kann man auch vom Oktaeder ausgehen und den dazu dualen Körper konstruieren; dabei ergibt sich wieder ein Würfel. Entsprechend sind Ikosaeder und Dodekaeder zueinander dual; das Tetraeder ist zu sich selbst dual.