Die Eulersche Polyederformel

Wenn man "Polyeder" betrachtet, das heißt Körper, die durch ebene Seitenflächen begrenzt werden, fallen einem die Ecken, Kanten und Flächen ins Auge. Man kann sich fragen, ob es zwischen deren Anzahlen irgendeine Beziehung gibt. Man erkennt leicht, dass es keine feste numerische Beziehung zwischen den Anzahlen der Ecken und der Seitenflächen geben kann; man muss alle drei Anzahlen in Rechnung stellen.

Die "Eulersche Polyederformel" (nach Leonhard Euler, 1707 -1783) sagt, dass die Summe der Anzahlen von Ecken und Flächen bei jedem konvexen Polyeder um genau 2 größer ist als die Anzahl der Kanten. In Formelsprache: e + f = k + 2.

Zum Beispiel gilt für den Würfel mit seinen 8 Ecken, 6 Flächen und 12 Kanten sowohl e + f = 8 + 6 = 14, als auch k + 2 = 12 + 2 = 14. Und beim Dodekaeder gilt  e + f = 20 + 12 = 32 = 30 +2 = k + 2.

Der Witz ist aber, dass diese Beziehung für jeden der unendlich vielen konvexen Polyeder gilt. Zum Beispiel kann man damit die Anzahl der Kanten des klassischen Fußballs ausrechnen. Dieser besteht aus 12 Fünfecken und 20 Sechsecken, somit ist f = 32. Da keine zwei Fünfecke des Fußballs eine Ecke gemeinsam haben, ist die Anzahl e der Ecken gleich 12 x 5 = 60. Nun wenden wir die Eulersche Polyederformel an und erhalten k = e + f - 2 = 60 + 32 - 2 = 90.