Fünf platonische Körper

Von den meisten mathematischen Objekten gibt es unendlich viele: Es gibt unendich viele Zahlen, unendlich viele Dreiecke und auch unendlich viele Vierecke. Von manchen Objekten gibt es aber nur wenige, zum Beispiel gibt es nur fünf platonische Körper.  Und das ist etwas besonderes.

Bei einem platonischen Körper können wir von drei Eigenschaften ausgehen: Jede Seitenfläche ist ein reguläres n-Eck, an jeder Ecke kommen gleich viele Seitenflächen zusammen und der Körper ist konvex, hat also keine einspringenden Ecken oder Flächen.

Der Trick besteht darin, dass es nur fünf mögliche Eckenfiguren gibt, aus denen man einen platonischen Körper aufbauen kann. Fangen wir mit großen n-Ecken an: An jeder Ecke müssen mindestens drei Flächen zusammentreffen (sonst wäre es keine Ecke). Wenn man versucht, eine Ecke mit regulären 7-Ecken oder 8-Ecken oder 9-Ecken usw. zu bilden, wird man scheitern: es geht nicht, weil die Winkel zu groß sind. Wenn man drei Sechsecke zusammenfügt, entsteht eine ebene Fläche, sozusagen der Anfang der Bienenwabenparkettierung. Auch so kann man keinen Körper herstellen.

Also bleiben nur Fünfecke, Quadrate und gleichseitige Dreiecke. Bei regulären Fünfecken und Quadraten ist es so, dass man nur Ecken aus drei dieser Flächen bilden kann. Also sind die Eckenfiguren eindeutug bestimmt. Wenn man Dreiecke verwendet, kann man Ecken aus 3, 4, oder 5 Dreiecken machen. Also gibt es hier drei Eckentypen, insgesamt also fünf. Und jeden Eckentyp kann man auf eindeutige Weise zu enem platonischen Körper fortsetzen. Also gibt es nur fünf platonische Körper.