Mathematik für draußen

Welche Mathematik finden Sie vor Ihrer Haustüre?

Egal ob im Garten oder bei einem längeren Spaziergang, die Welt ist voller Mathematik. Auf dieser Seite finden Sie Mathematik, die Sie draußen finden oder draußen machen können.

Zikaden

Pünktliche Primzahlen-Plagen

In manchen Sommern findet im Osten der USA ein ganz besonderes Spektakel statt: Über Nacht erscheinen fast gleichzeitig Abermillionen Zikaden. Um die Weibchen ihrer Art auf sich aufmerksam zu machen, geben die Zikaden der Gattung Magicicada lautstarke Rufe von sich. Diese betragen etwa 100 Dezibel und sind damit so laut, dass sie sogar den Straßenverkehr übertönen. Der Spuk ist jedoch nach nur wenigen Wochen wieder zu Ende. Nach erfolgreicher Fortpflanzung ziehen sich die geschlüpften Larven in den Boden zurück und die erwachsenen Zikaden sterben. Das Außergewöhnliche an diesem Phänomen ist, dass diese Zikadenplage nicht jedes Jahr auftritt und auch nicht jedes zweite oder dritte, sondern genau jedes dreizehnte oder siebzehnte Jahr! Ihre Pünktlichkeit ist dabei bemerkenswert: Die Prognosen weichen maximal eine Woche ab. Doch was veranlasst die Zikaden zu einem so erstaunlich langen Lebenszyklus? 

Eine Hypothese geht davon aus, dass die Evolution manche Lebenszykluslängen von Insekten bevorzugt hat und andere nicht. Potentielle Räuber der erwachsenen Zikaden könnten sich beispielsweise in 2-, 4- oder 6-Jahreszyklen vermehren. Der Lebenszyklus der Zikaden hat eine Länge von 13 oder 17 Jahren. Dabei handelt es sich um Primzahlen, also um Zahlen, die nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind. Geht man von einem Beispiel aus, in dem sich die Räuber alle 4 Jahre und die Beute alle 13 Jahre vermehren, treffen sich Räuber und Beute erst nach 52 Jahren wieder. In den Jahren vorher, kann sich die Beute relativ ungestört vermehren. Sie vergrößert ihre Überlebenschancen dadurch also enorm. Zusätzlich zur besonders günstigen  Lebenszyklusdauer, treten die Zikaden in solchen Massen auf, dass trotz Verlusten durch Räuber immer genug Tiere zur Erhaltung der Population übrig bleiben. 

Auch nächstes Jahr (2021) wird wieder ein Massenauftreten der Magicicada-Zikaden erwartet, welches den gesamten Nordosten bis hinein in den Mittleren Westen der USA erfassen wird.

Lebenszyklus Zikaden und Räuber

Sonnenuhr

Die analemmatische Sonnenuhr des Mathematikums

Schon vor tausenden Jahren haben die Menschen am Stand der Sonne die Zeit abgelesen. Zunächst wurde die Mittagsstunde bestimmt, dann immer präzisere Tages- und auch Jahreszeiten. Die ersten Belege einer Sonnenuhr kommen aus Ägypten und stammen aus dem 13. Jahrhundert v. Chr. Man geht jedoch davon aus, dass schon die Sumerer in Mesopotamien und die frühen Chinesen die Sonne bereits vor über 4000 Jahren zum Messen der Zeit nutzten. Zum Beispiel, indem sie den Schatten ihres Körpers  mit der eigenen Fußlänge vermaßen.

Mithilfe eines Schattens (zum Beispiel von einem  im Boden oder an der Wand befestigten Stab), der durch das Sonnenlicht auf ein Ziffernblatt geworfen wird, kann man auf der Sonnenuhr die wahre Ortszeit (WOZ) ablesen. Durch das Wandern der Sonne, ändert sich die Position und die Länge des Schattens auf dem Ziffernblatt, welches  sowohl vertikal (z.B. an Hauswänden) als auch horizontal ausgerichtet sein kann.  

Die Sonnenuhr vor dem Mathematikum besteht aus 16 bunten Säulen, die mit den Zahlen von 6 bis 21 beschriftet wurden. Außerdem ist mittig auf dem Boden eine rote Kurve in Form einer Acht angebracht, auf der je ein Tag im Monat markiert wurde. Bei dieser langgestreckten Figur handelt es sich um ein Analemma. Dieses erhält man, wenn man die Position der Sonne am Himmel zu ein und derselben Tageszeit über ein Jahr hinweg festhält. Sie stellt dar, wie sich durch die Schiefe der Ekliptik, also der Neigung der Erdachse hinsichtlich der Erdbahnenebene, die Höhe der Sonne im Verlauf der Jahreszeit verändert.

Doch wie kann man die Tageszeit von der anelemmatischen Sonnenuhr ablesen? Der Schatten wird bei unserem Exemplar nicht von einem fest installierten Zeiger erzeugt. Stattdessen zeigt der Schatten des eigenen Körpers die Uhrzeit an. Dafür muss man sich auf das 8-förmige Analemma stellen. Die Position des aktuellen Datums muss genau zwischen den Füßen liegen. Wenn das aktuelle Datum nicht markiert wurde, kann man sich an dem letzten und dem nächsten markierten Datum orientieren. Daraufhin dreht man sich so, dass sich die Sonne im Rücken befindet. Jetzt zeigt der eigene Schatten an den Stundensäulen die aktuelle Uhrzeit minutengenau an. Tipp: Die Mittellinie des symmetrischen Schattens liefert das genauste Ergebnis. Aber natürlich nur bei Sonnenschein ;)

Und was passiert mit unserer Sonnenuhr, wenn mal wieder die Zeit umgestellt wird? Dann montieren unsere Werkstatt-Mitarbeiter alle Zahlenscheiben von den Säulen ab, um sie eine Stelle nach links oder rechts verschoben wieder anzubringen.

Fibonacci-Zahlen in der Natur

Mathematische Muster finden

Die Fibonacci-Zahlen sind eine Zahlenreihe, mit der sich zuerst der Rechenmeister Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci im Jahr 1202 befasst hat. Sie entsteht, wenn man mit der 1 beginnt und anschließend immer die letzten beiden Zahlen addiert. Diese ergeben dann die nächste Zahl in der Reihe.

So sieht der Anfang der Folge aus: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Diese Zahlenreihe hat eine Vielzahl spannender Eigenschaften. Unter anderem kann man damit das exponentielle Wachstum verdeutlichen. An dieser Stelle beschäftigen wir uns aber mit etwas anderem: verblüffenderweise kommen die Fibonacci-Zahlen in der Natur vor. Und zwar nicht ungefähr und vereinzelt, sondern exakt und verbreitet.

Ein Beispiel, das jeder selbst nachprüfen kann, sind die Schuppen eines Kiefernzapfens. Wenn man sich die Unterseite des Zapfens ansieht, sieht es erst einmal ziemlich durcheinander aus. Wer genauer hinsieht kann jedoch erkennen, dass die Schuppen sich in einem Spiralmuster anordnen, und zwar sowohl rechts- als auch linksherum. 

Wir sehen uns zuerst die Rechtsdrehung an und zählen die Spiralen, die wir erkennen können.

Als nächstes sehen wir uns die Linksdrehung an. Bei einem "richtigen" Kiefernzapfen den man selbst im Wald gesammelt hat, kostet diese gedankliche Wende manchmal ein bisschen Konzentration, aber Sie werden sehen, es klappt!

In die eine Richtung haben wir 13 Spiralen gefunden und in die andere 8. Das sind zwei genau aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Und das ist kein Zufall. Egal wie viele Kiefernzapfen Sie aufheben, Sie werden immer eine solche Kombination finden. Normalerweise 8 & 13 Spiralen, manchmal aber auch 5 & 8, das sind ebenfalls aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Ein ähnliches Bild ergibt sich, wenn man die Dornen eines Kaktus betrachtet oder die Samen einer reifen Sonnenblume. Bei der Sonnenblume muss man allerdings mehr Spiralen zählen. Die Fibonacci-Zahlen, die darin versteckt sind, sind meistens 34 & 55.

Die Biologie ist sich sicher, dass sich das spiralförmige Wachstum in genau dieser Anordnung als optimale Platzausnutzung erwiesen hat. Die Pflanze kann wachsen und das Muster immer weiter vergrößern, ohne den grundlegenden Aufbau zu ändern.

Für Neuierige: Mehr zur Fibonacci-Reihe und wie sie mit dem Goldenen Schnitt zusammenhängt steht in Albrecht Beutelspachers Buch Wie man in eine Seifenblase schlüpft.

Försterdreieck

Wie groß ist der Baum?

Mit dem sogenannten Försterdreieck lässt sich die Höhe eines Baumes abschätzen. Wir verwenden dazu ein großes Geodreieck, aber auch ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck aus Pappe funktioniert. 

Für das Experiment ist es wichtig, das Dreieck ganz gerade zu halten. Einfacher wird das, wenn ein kleines Gewicht (zum Beispiel ein Radiergummi) an der Spitze des Dreiecks hängt. Wenn die Schnur entlang der Kante hängt, ist es genau richtig.

Wir fixieren jetzt über die lange Kante hinweg mit der Spitze des Dreiecks die Spitze des Baums und laufen so lange nach vorne oder hinten, bis Baumspitze und Dreiecksspitze genau auf einer Höhe sind. Zur Sicherheit legen wir dabei den Daumen auf die Spitze des Geodreiecks, das zu unserem Auge zeigt.

Sobald wir den richtigen Punkt gefunden haben, ist das Experiment ganz einfach. Mit dem Maßband oder mit langen Schritten messen wir die Entfernung zwischen uns und dem Baum. Zuletzt addieren wir unsere eigene Augenhöhe, die ungefähr unserer Körpergröße entspricht. Die Summe ist die Höhe des Baums.

Warum funktioniert das? Die beiden kurzen Kanten des Geodreiecks sind gleich lang. Wenn wir die lange Kante des Dreiecks gedanklich bis zur Baumspitze verlängern, entsteht ein Dreieck, das dem Geodreieck "ähnlich" ist. Dieses Dreieck ist unten in der Skizze zu sehen. Es hat genau die gleichen Seitenverhältnisse. Deshalb sind dann auch die beiden kurzen Seiten des gedachten großen Dreiecks gleich lang. Unsere Körpergröße muss addiert werden, um den Abstand zum Boden zu berücksichtigen, den das gedachte Dreieck nicht mit abdeckt. 

Eine genauere Erklärung finden Sie in dem Buch Albrecht Beutelspacher & Marcus Wagner, Wie man einen Würfel aufpustet.

Experimente mit Seifenblasen

Vergängliche mathematische Kunstwerke

Seifenblasen fliegen schillernd durch die Luft, aber sie können noch viel mehr! Auf einer glatten Unterlage kann man fragile Kunstwerke daraus entstehen lassen.

Sie benötigen:

  • Seifenlauge. Die einfachste besteht aus Wasser, Spülmittel und einem Tropfen Glycerin. Im Internet gibt es allerdings auch viele gute Anleitungen für "stabilere" Seifenblasen. Viele davon nur mit Zutaten, die man im Supermarkt kaufen kann
  • Einen Trinkhalm aus Edelstahl, Silikon, Glas oder Plastik (nicht aus Papier).
  • Eine glatte, wasserfeste Unterlage, zum Beispiel einen Tisch aus Plastik, ein Tablett oder ein Wachstischtuch.
  • Einen windstillen Tag. Das Experiment funktioniert auch im Haus, die Seifenlauge beschränkt sich aber nicht immer auf die Tischoberfläche.

So funktioniert's:

Zuerst wird die Unterlage mit einer dünnen Schicht Seifenlauge benetzt, andernfalls platzen die Seifenblasen. Der Trinkhalm wird eingetaucht und vorsichtig eine Seifenblase auf die Unterlage geblasen. Anfangs muss man vielleicht ein bisschen üben, wie viel gepustet werden muss. Ab jetzt sind der Fantasie keine Grenzen gesetzt.

  • Versuchen Sie eine riesengroße Seifenblase zu machen.
  • Setzen Sie drei gleich große Blasen direkt aneinander und beobachten Sie die Flächen, an denen sie sich berühren.
  • Denken Sie sich ein schönes Muster aus verschieden großen Seifenblasen aus.
  • Pusten Sie eine kleine Seifenblase in eine große. Das funktioniert, wenn der Trinkhalm von außen gut mit Seifenlauge benetzt ist.
  • Was fällt Ihnen noch ein?

 

Ein mathematischer Spaziergang

In der Natur kann man viel entdecken

Wie wäre es, wenn Sie auf Ihrem Sonntagsspaziergang mal die mathematische Brille aufsetzen?

Wir haben einen Entdeckerbogen für Sie gestaltet, der dabei helfen soll, die Umgebung mit ganz neuen Augen zu sehen. Dabei können Sie Ausschau nach den Dingen auf der Abbildung halten, oder auch etwas ganz anderes finden, auf das die Beschreibung zutrifft.

Der Bogen eignet sich besonders für einen Spaziergang mit Kindern. Er ist aber auch eine schöne Möglichkeit für Erwachsene, die eigene Aufmerksamkeit zu fokussieren und die gewohnte Sonntagsrunde einmal ganz anders wahrzunehmen.

Tipp:
Nicht zu groß ausdrucken (z.B. A5), dann kann man ein Notizbuch als Unterlage nutzen und bequem unterwegs abhaken oder einkringeln. Wer mag kann das Ergebnis auf Facebook oder Instagram mit uns teilen.