Albrecht Beutelspachers Knobelaufgabe der Woche

Jede Woche eine kniffelige mathematische Knobelei

Jeden Dienstag gibt es auf dieser Seite eine neue Knobelaufgabe. Gleichzeitig wird die Aufgabe der Vorwoche als PDF hochgeladen, das Aufgabe und Lösung enthält.

Möglichst wenig Gewichtssteine

Knobelaufgabe Nr. 10

Wie viele Gewichtssteine braucht man, um jedes Gewicht von 1 Gramm bis 200 Gramm auf einer Balkenwaage wiegen zu können?  

Tipp: Wie viele Steine brauchen Sie, wenn die Steine die üblichen Gewichte 1, 5, 10, 50, 100 Gramm haben?
Sie dürfen sich aber auch beliebige Gewichtssteine wünschen, also zum Beispiel 1, 2, 4, 8, … Gramm.
Es geht aber noch besser…

Keltische Krieger

Knobelaufgabe Nr. 9

Die Kelten lebten in Runddörfern. Wir stellen uns vor, dass in jedem Haus genau ein Kelte wohnt.

Einige der Kelten wurden vom Gott der Kelten ausgewählt, Krieger zu werden. Das äußere Zeichen dafür ist ein Zeichen, das die Krieger auf ihrer Stirne tragen. Keiner der Kelten weiß allerdings, ob er selbst ein Zeichen trägt. Alles was sie wissen ist, dass mindestens einer als Krieger ausgewählt wurde.

Die Aufgabe war die: Am Morgen jeden Tages treten die Kelten, ohne ein einziges Wort zu sprechen, kurz vor ihre Hütten, schauen sich gegenseitig an und gehen dann wieder in ihre Hütten zurück. Erst dann fangen sie an zu denken. Dafür haben sie den gesamten restlichen Tag Zeit. So sollen sie herausbekommen, wer ausgewählt wurde und wer nicht.

Am ersten Tag zeigen die Kelten keine Reaktion. Auch am zweiten Tag nicht, offenbar hat ihr Nachdenken nicht dazu geführt, dass sie wissen, ob sie Krieger sind. Aber am zehnten Tag kommen einige Kelten mit einem Strahlen im Gesicht heraus; sie wissen genau, dass sie die Krieger sind.

Frage: Wie viele Krieger wurden ausgewählt?

Tipp: Versuchen Sie sich klarzumachen, was passieren würde, wenn nur ein Krieger ausgewählt worden wäre.

Das Alter der Töchter

Knobelaufgabe Nr. 8

In unserer Nachbarschaft ist eine Familie neu eingezogen. Als ich mit dem Vater ins Gespräch komme, erzählt er, dass sie drei Töchter haben. Als ich frage, wie alt sie sind, stellt er mich auf die Probe. Zunächst sagt er: „Das Produkt der Alter unserer Töchter ist 36.“ Darauf erwidere ich: „Das schließt natürlich viele Möglichkeiten aus, lässt aber auch noch einige zu.“ Darauf er: „Die Summe der Alter unserer Töchter ist unsere Hausnummer.“ Ich schaue, rechne und überlege, komme aber zu dem Schluss: „Damit kann ich die Alter immer noch nicht eindeutig bestimmen.“ In diesem Augenblick kommt eine der Töchter und der Vater stellt sie vor: „Das ist unsere Älteste.“ 

Damit bekomme ich heraus, wie alt die Töchter sind. Sie auch?  

Münzwurf mit dem Teufel

Knobelaufgabe Nr. 7

Der Teufel bietet mir ein Spiel an. Wir nehmen dazu eine Münze, und zwar eine, die absolut fair ist, also langfristig in 50% der Fälle Kopf und sonst Zahl zeigt. Bei dem Spiel geht es um drei aufeinanderfolgen Münzwürfe und deren Ergebnisse. Diese können so etwas sein wie KKK, KZK, ZZK und so weiter. K steht für Kopf, Z für Zahl. Insgesamt gibt es acht solche Folgen, und wenn man die Münze drei Mal wirft, tritt jede dieser Folgen in genau 1/8 der Fälle auf.

Nun flüstert mir der Teufel ins Ohr: „Du wählst Dir eine solche Folge aus drei Ergebnissen, dann wähle ich eine und dann werfen wir so lange, bis eine unserer Folgen auftaucht. Wenn Deine Folge zuerst auftaucht, hast Du gewonnen, sonst ich.“

Ich ahne Schlimmes, aber fange einfach mal an und sage: „KKK“. Da kann der Teufel nur müde lächeln und zischt: „ZKK“.
Frage: Warum gewinnt der Teufel in der Mehrzahl der Fälle? Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt er tatsächlich?

Zusatzfrage: Wenn ich ZZK setze oder ZKZ, was ist dann des Teufels Antwort?

Seil um ein Spielfeld

Knobelaufgabe Nr. 6

Stellen Sie sich ein Fußballfeld vor. Es kann auch ein Handballfeld, ein Baseballfeld, ein Volleyballfeld oder noch etwas anders sein, es sollte nur ein großes rechteckiges Feld sein. Um dieses legen wir jetzt ein Seil, das genau auf den Begrenzungslinien des Feldes liegt. Die Länge des Seils ist also genau der Umfang des Feldes.

Nun verlängern wir das Seil um genau einen Meter und legen es dann so aus, dass es überall den gleichen Abstand zu den Markierungen des Feldes hat.

Frage: Wie groß ist dieser Abstand?

Der zerstreute Professor

Knobelaufgabe Nr. 5

Der Professor und seine Frau haben zwei befreundete Ehepaare zum Abendessen eingeladen. Zunächst trinken sie zusammen einen Begrüßungssekt. Sie stoßen miteinander an, nicht jeder mit jedem, sondern nur mit ein paar anderen oder auch mit keinem. Aber jedenfalls stößt keiner mit seinem Ehepartner an.

Der Professor ist ein bisschen zerstreut und hat nicht aufgepasst, wer mit wem angestoßen hat. Als er danach fragt, antwortet seine Frau geheimnisvoll: „Ich verrate Dir nur, dass wir anderen fünf jeweils mit einer unterschiedlichen Zahl von Menschen angestoßen haben.“

Da blinzelt der Professor, schaut seine Frau an und sagt: „Dann haben wir zwei mit den gleichen Personen angestoßen.“

Wir fragen ganz einfach: Mit wie vielen Menschen hat der Professor angestoßen?

Der perfekte Tee

Knobelaufgabe Nr. 4

Unsere Mathematikum-Mitarbeiterin Jördis Beck schrieb uns folgendes:

Ich habe eine Knobelaufgabe von meiner Oma bekommen, welche ich sehr interessant finde.

Aufgabe:
Für einen besonders edlen Tee müssen Sie exakt auf die richtige Zeit des Ziehens achten. Fünf Minuten sollen es sein. Sie haben aber nur zwei Sanduhren. Die eine läuft in drei Minuten durch, die andere in vier Minuten. Beide werden gleichzeitig umgedreht und sie laufen immer bis zum Ende durch. Können Sie es schaffen, fünf Minuten abzumessen?

Wie ist es, wenn man Sanduhren mit 3 Minuten und 7 Minuten verwendet?

Kann man mit diesen Sanduhren jede Anzahl von Minuten schaffen? Zum Beispiel auch Tee, der genau 8 Minuten braucht?

Und ein kleines Forschungsprojekt für kleine und große Tüftler: Vor Ihnen stehen viele Sanduhren in einem Regal. Die erste läuft in einer Minute ab, die zweite in zwei die dritte in drei Minuten usw. Kurz: Für jede natürliche Zahl a gibt es eine Sanduhr, die genau a Minuten braucht.

  • Finden Sie zwei Sanduhren, mit denen man 5 Minuten garantiert nicht abmessen kann!
  • Nehmen Sie zwei Sanduhren aus dem Regal. Können Sie schon an den Zeiten dieser Sanduhren erkennen, ob man mit ihnen jede Zeit stoppen kann?
Eine Tasse Tee und zwei verschieden große Sanduhren

Über die Brücke

Knobelaufgabe Nr. 3

Familie Mathefix macht einen Ausflug: Vater, Mutter, Tochter und Sohn. Sie haben sich in der Zeit verschätzt. Es ist schon dunkel und sie müssen einen Fluss überqueren. Über den Fluss führt nur ein schmaler Steg; dieser ist so schmal und so instabil, dass beim besten Willen immer nur zwei Personen drüber gehen können.

Sie wissen, wie lange jeder braucht, um die Brücke zu überqueren: Die Tochter ist schon groß und schafft es in einer Minute, während ihr kleiner Bruder zwei Minuten braucht. Die Eltern sind ängstlich und brauchen daher länger: Die Mutter vier Minuten und der Vater sogar fünf.

Nun kommt erschwerend hinzu, dass es inzwischen so dunkel ist, dass man eine Taschenlampe braucht, um überhaupt irgendetwas zu sehen. Zum Glück hat der kleine Bruder seine Taschenlampe mitgenommen. Mit der kann man den Steg überqueren, man muss die Taschenlampe aber immer wieder zurückbringen.

Natürlich will Familie Mathefix so schnell wie möglich über die Brücke kommen. Wie lange braucht sie?

Die Zündschnüre

Knobelaufgabe Nr. 2

Das ist eine schwierige Aufgabe, aber Sie haben auch eine ganze Woche dafür Zeit. 

Vor Ihnen steht eine Kiste mit Zündschnüren. All diese Schnüre haben eine einzige Eigenschaft: Sie brennen, wenn man sie an einem Ende anzündet, genau 60 Sekunden. Aber sonst haben sie keine Eigenschaft. Es ist nicht so, dass in 30 Sekunden die halbe Länge abgebrannt ist, denn manchmal verdickt sich eine Schnur, an anderen Stellen ist sie dafür ganz dünn. Und bei jeder Zündschnur ist es anders, keine ist wie die andere. Das einzige was man weiß, ist: Wenn man eine Schnur an einem Ende anzündet dauert es genau 60 Sekunden bis der Funke am anderen Ende angekommen ist. 

Frage: Wie kann man mit diesen Zündschnüren eine Zeitspanne von 45 Sekunden abmessen?
Wenn Sie nicht draufkommen, überlegen Sie zuerst: Wie kann man 30 Sekunden abmessen?

Und ein kleines Forschungsprojekt für kleine und große Tüftler: Gibt es noch weitere Zeitspannen, die man mit diesen Zündschnüren abmessen kann? Welche Zeitspannen sind das?

Ein Knäuel unterschiedlich langer und dicker Zündschnüre

Die Schokoladentafel

Knobelaufgabe Nr. 1

Das ist eine meiner Lieblingsaufgaben.
Stellen Sie sich vor, dass eine leckere Schokoladentafel vor Ihnen liegt. Diese besteht aus 24 Stückchen, die in 4 Reihen zu je 6 Stückchen eingeteilt sind. Sie möchten die Tafel in die 24 einzelnen Stückchen aufteilen. Dabei könnte man zuerst eine Reihe nach der anderen abbrechen und dann die einzelnen Reihen durchbrechen oder man könnte zunächst die Spalten herstellen und dann diese in Stückchen zerlegen oder man könnte eine noch ganz andere Methode verfolgen. Sie dürfen machen was Sie wollen. Es gibt nur eine Regel: In jedem Schritt nehmen Sie ein schon existierendes Teil und brechen dieses entzwei. (Übereinanderlegen u.ä. ist verboten.)
Frage: Wie viele Schritte brauchen Sie, das heißt: wie oft müssen Sie ein Teil durchbrechen, bis alle 24 Stückchen einzeln vor Ihnen liegen?

Eine Tafel Schokolade mit 6 x 24 Stückchen